借錢投資與正二 ETF：槓桿的合理上限怎麼算出來

槓桿把報酬與波動同時放大，但波動是平方項。這個不對稱決定了槓桿的合理上限，而且那個上限比多數人以為的低很多。

一句話答案： 槓桿 L 倍會讓期望報酬乘 L、波動也乘 L，但波動拖累是 σ²/2，所以複利報酬有一個最高點，超過它之後借越多賺越少。

一條曲線就講完了

槓桿 L 倍、借款成本 c 的組合：

期望報酬　μ_L = L·μ − (L−1)·c　　線性
波動　　　σ_L = L·σ　　　　　　　線性
複利報酬　g_L ≈ μ_L − σ_L² / 2　　二次

前兩式是直線，第三式是開口向下的拋物線。

算術期望報酬複利（幾何）報酬

標的期望報酬 7%、波動 17%、借款成本 3%。虛線是算術期望報酬，實線是扣掉波動拖累後的複利報酬。複利報酬在約 1.4 倍附近達到高點，2.5 倍以後開始低於不使用槓桿。

資料：本站以 g ≈ μ − σ²/2 計算與繪製，參數為模型假設

這張圖已經足以推翻「槓桿只是把報酬按比例放大」這個直覺。在這組參數下，3 倍槓桿的長期複利報酬低於完全不使用槓桿。 而這還沒有算進下面幾件更糟的事。

槓桿型 ETF 追蹤的是單日報酬的倍數，不是期間報酬的倍數。在震盪盤中，這會產生系統性的耗損：標的漲 10% 再跌 10% 回到 0.99，2 倍槓桿則是漲 20% 再跌 20% 得到 0.96。震盪越大、期間越長，落差越大。

這個耗損不是費用，也不是追蹤誤差，而是每日重設這個機制的數學後果。

融資有維持率，槓桿商品有下市門檻。一旦觸發，自己的部位在最低點被結清，之後市場的反彈與無關。這把可逆的波動變成不可逆的損失——正是風險那一頁講的分界線。

上面那條曲線假設可以一直持有到期。強制平倉讓這個假設失效，而它偏偏最容易在曲線最需要撐住的時候發生。

在市場壓力最大的時候，融資成本通常上升、可融資額度通常下降。這代表槓桿的成本 c 不是常數，而是與資產表現負相關的東西。這個相關性把上面那條曲線在左尾又往下壓了一截。

不是。有兩個相對站得住腳的用法：

在人力資本很大、金融資產很小的年輕階段，適度提高股票曝險。 這在理論上有依據（見人力資本），但實務上通常用「提高股票比重到 100%」就能達成，不需要真的借錢。
在完全分散、低波動的組合上使用低倍數槓桿。 波動拖累是 σ² 的函數，所以槓桿的容忍度對低波動組合高很多。這也是為什麼「槓桿一個 60/40 組合」在理論上比「槓桿一檔個股」合理得多。

共同點是：先把波動降下來，再考慮槓桿。 反過來做——在高波動資產上加槓桿——是把兩個放大器串起來。