第六部 直覺但未必最優
22 創新高進場與極端高點單筆投入
22.1 「創新高不能買」的直覺
直覺是這樣的：價格在歷史高點 ⟹ 貴 ⟹ 未來報酬低 ⟹ 應該等回檔。這個推論鏈有一個致命錯誤：「歷史高點」不是估值指標，它是價格路徑的性質。一個長期向上的序列，本來就會經常創新高。
一個簡單的計算
若價格是帶正漂移的隨機漫步，「今天是歷史新高」發生的機率相當可觀。實證上，標普 500 大約有 7% 的交易日是歷史收盤新高，而且新高往往叢聚出現。
實證結果（多家機構以 1926 年起的美股資料重複驗證）：在歷史新高當天投入，其後 1 年、3 年、5 年的平均報酬，略高於隨機挑一天投入。
為什麼會這樣？因為「創新高」帶有輕微的動能訊號，而且它排除了「正在崩盤中」的樣本。等待回檔的策略則面臨一個殘酷的算術：如果等 −10% 才進場，而市場先漲了 30% 才回檔 10%，自己的進場價比原本高了 17%。
22.2 但估值高就不一樣了
請務必把「價格新高」和「估值極端」分開。前者沒有預測力，後者有（圖 12-2）。真正需要擔心的不是「指數創新高」，而是「CAPE 站上 35 倍」。這兩件事有時同時發生，有時不會。
| 情況 | 歷史新高 | 估值極端 | 該怎麼做 |
|---|---|---|---|
| 多數時候 | 是 | 否 | 照常投入，不必調整 |
| 1999、2021 | 是 | 是 | 下修報酬假設；可小幅傾斜；不要清倉 |
| 2009、2020 三月 | 否 | 否（便宜） | 照常投入；心理上最難的時候 |
22.3 最壞情境：在真正的頂點單筆投入
我們來認真做這個惡夢實驗。假設有人全世界運氣最差的人，只在歷史大頂點單筆投入標普 500 並持有至今：
| 進場點 | 隨後最大回檔 | 名目回本所需時間 | 實質（含息）回本 |
|---|---|---|---|
| 1929 年 9 月 | 約 −86% | 約 25 年（價格） | 約 4.5 年（含息、含通縮） |
| 1973 年 1 月 | 約 −48% | 約 7 年 | 約 10 年（高通膨拖累） |
| 2000 年 3 月 | 約 −49% | 約 7 年 | 約 13 年 |
| 2007 年 10 月 | 約 −57% | 約 5.5 年 | 約 6 年 |
數字為量級近似，用於說明；不同指數與股息／通膨處理方式會有差異。
三個結論：（一）「在最高點買」在三十年尺度上仍然是正報酬，只要沒有賣；（二）真正的殺手不是回檔幅度，是回本期間的長度，因為那決定會不會在中途放棄；（三）1973 與 2000 的案例顯示，通膨與起始估值對回本時間的影響，大於崩跌幅度本身。
三個角度：在歷史新高進場
理論上 §22.1 已說明：上漲的資產本來就會經常創新高，「新高」是上漲趨勢的副產品，不是一個估值訊號。它與預期報酬的關係，應該接近零。
歷史上 這是一個典型的條件式歷史檢定：把「每次創新高後進場」的後續 1、3、5 年報酬分佈，與「任意日期進場」的分佈直接對比。以標普 500 在 1950 年至 2025 年 8 月的資料，只在歷史新高進場的 1、3、5 年報酬，與指數的平均報酬相當接近，而這段期間包含 1987 年黑色星期一、網路泡沫與金融危機。要追問的是另一個問題：這個結論有沒有跨市場複製？實證上它在已開發市場較弱、在不同資產類別上差異很大——這正好支持「接近零訊號」而不是「新高是看多訊號」（若相信後者，就又回到 §13.6 的多重檢定問題）。
未來最大的未知 上面這段歷史的起始估值與利率環境，與今天不同（§12.5）。「新高不是訊號」與「估值是訊號」可以同時成立，而它們指向完全不同的行動：前者說不要等，後者說調預期報酬。
來源：RBC GAM〈Investing at all-time highs〉，資料來自 Bloomberg，標普 500，1950 年 1 月至 2025 年 8 月（未扣除交易成本與稅）。
22.4 先把「等回檔」的兩種意思分開
到這裡有人會說：「我不是因為它創新高才不敢買，我是因為全球估值真的太高了。所以我等回檔再進場。」這是一個認真得多的版本，而且它的前提（高估值 ⇒ 未來報酬較低）在第 12 章是有實證支持的。所以這一節到 22.9 要把它從頭到尾算清楚。
但第一步不是算，是把問題定義清楚。「等回檔」這四個字至少有兩種完全不同的意思，它們的數學、結論、甚至可行性都不一樣：
實務上最常見的情形是：人們嘴上說的是意思乙，腦子裡算的是意思甲。他們以為自己在等一個幾乎一定會到的機會（乙），卻預期拿到一個比今天便宜的價格（甲）。這兩件事不能兩全，而接下來兩節就是把它們各自的代價算出來。
22.5 意思甲：可能永遠等不到（第一穿越定理）
這個問題有封閉解，而且結果非常乾淨。設對數價格 Xt = ln(St/S0) 遵循帶漂移的布朗運動：
定理（第一穿越機率）
Xt = νt + σWt，其中 ν = μ − σ²/2 > 0（股市長期往上）。
令門檻 b = ln(1−d) < 0，τb = inf{t : Xt = b}。則：
證明
取 Mt = e−θXt。由對數常態的動差生成函數：E[Mt] = et(−θν + θ²σ²/2)。
代入 θ = 2ν/σ²：−θν + θ²σ²/2 = −2ν²/σ² + 2ν²/σ² = 0，所以 Mt 是鞅，E[Mt] = M0 = 1。
對 τb 用選擇樣本定理。在「永遠不碰到 b」的事件上，ν > 0 使 Xt → +∞，故 Mt → 0；在「碰到」的事件上 Mτ = e−θb。於是：
1 = e−θb·P(τb < ∞) + 0·[1 − P(τb < ∞)] ⇒ P(τb < ∞) = eθb ■
又，條件於碰到，過程行為像漂移為 −ν 的布朗運動，所以平均等待時間 E[τb | τb < ∞] = |b|/ν。
這條式子的含意很少人意識到：市場有相當高的機率永遠不會再回到今天以下，而且要求的跌幅愈深，這個機率愈高。以 μ = 8%、σ = 18%（ν = 6.38%、θ = 3.94）代入：
| 等的跌幅 | 曾跌到的機率 | 永遠等不到的機率 | 等到的話平均等多久 |
|---|---|---|---|
| −10% | 66% | 34% | 1.7 年 |
| −20% | 42% | 58% | 3.5 年 |
| −30% | 25% | 75% | 5.6 年 |
| −40% | 13% | 87% | 8.0 年 |
模型值。實際市場有厚尾（§3.3），深跌的機率比這張表高一些，但量級不變。
請把第三欄看一遍。「等全球股市從今天跌 30% 再進場」這件事，有四分之三的機率永遠不會發生。那不是「進場時機不佳」，而是一輩子沒有進場——而這個結局永遠不會在任何回測表上出現，因為回測只統計那些「有進場」的路徑。這是一種沒人在算的存活者偏誤。
22.6 意思乙：等到了，但價位比今天高
意思乙聰巧得多：不管漲到哪，只要從高點回檔 d% 我就進場。這種回檔幾乎一定等得到。問題在於等到時價位在哪裡——而這一題也有封閉解。
定理（首次 δ 回檔時的期望高點）
令 δ = −ln(1−d) > 0，M = 首次出現 δ 回檔之前的對數最高點。則：
證明
先解雙門檻問題。h(x) = e−θx 是調和函數（同 22.5 的鞅），故從 0 出發先碰 +a 而非 −δ 的機率為
P(先碰 +a) = (1 − eθδ) / (e−θa − eθδ)
令 a = dx 為無窮小上升幅度，展開 e−θ·dx ≈ 1 − θ·dx，得「在爬升 dx 之前先發生 δ 回檔」的機率為
λ·dx， λ = θ / (eθδ − 1)
這是一個與位置無關的常數危險率，所以 M 服從參數 λ 的指數分配，E[M] = 1/λ。■
於是期望進場的對數價格 = E[M] − δ，而期望等待時間由 E[Xτ] = νE[τ] 得 E[τ] = (E[M] − δ)/ν。
同樣以 μ = 8%、σ = 18% 代入，結果是這樣：
| 等的回檔 | 期望先漲到 | 期望進場價（相對今天） | 平均等待 |
|---|---|---|---|
| 從高點 −10% | +13.9% | +2.6%（比今天貴） | 0.4 年 |
| 從高點 −20% | +43.0% | +14.4% | 2.1 年 |
| 從高點 −30% | +118% | +52.8% | 6.6 年 |
這是全章最重要的一張表。它說：要求的回檔愈深，等到的那個「便宜價」就愈貴。原因是純粹的算術——愈深的回檔需要愈長的等待，而愈長的等待讓漂移累積得愈多。而且在等待期間只拿現金利率，那筆機會成本要另外加上去。
最原始的版本可以寫成一行：
設決定「等跌 d 再進場」。在等待的期間，市場先漲了 u，才從高點回檔 d。自己的實際進場價相對於今天：
u = 30%、d = 10% ⇒ 自己的進場價比今天高 17%。
要讓「等待」真的划算，必須 (1+u)(1−d) < 1，即 d > u/(1+u)。
另外，等待期間這筆錢只拿 rf，還要再加上 (μ − rf)×T 的機會成本。
這條不等式是重點。它說：需要等的回檔幅度，必須大於等待期間市場漲的幅度（除以 1+u）。而市場每年的期望漲幅是正的（這正是想投資的原因），所以等得愈久，門檻就要設得愈高。實務上這變成一個自我逐退的陸陣：等到門檻達到時，已經需要一個更大的門檻才划算。
22.7 高估值的正確反應：一個可以證明的命題
前面兩節算的是「等待」這個手段的代價。但那位提出質疑的人的動機是對的：如果全球估值真的偏高，未來報酬確實可能較低（第 12 章）。那麼正確的做法是什麼？
這一節給出答案，而且是可以證明的。關鍵在於把兩個問題徹底分開：
水準問題（level）：我該持有多少比例的股票？→ 這是一個關於 μ、σ、γ 的問題。估值資訊屬於這裡。
時機問題（timing）：我該在哪一天把它買進來？→ 這是一個關於路徑的問題。估值資訊不屬於這裡。
命題一（估值只改變水準，且是等比例地改變）
由 §8.1 的 CRRA 解 α* = (μ − rf)/(γσ²)。若估值資訊使把期望報酬從 μ₁ 下修到 μ₂（兩者皆 > rf），則
數值：μ 從 9% 降到 5.5%、rf = 3.5%、σ = 18%、γ = 3 ⟹ α* 從 57% 降到 21%。
注意結論的形式：一個較小但持續持有的部位。不是 0%，也不是「先 0% 再 100%」。
有人會問：那「先 0% 再 100%」跟「一直持有 57%」的時間平均曝險可能一樣，為什麼不能等價？下面這個命題回答它，而且答案是嚴格的。
命題二（在相同的時間平均曝險下，平滑嚴格優於跳動）
設曝險路徑 α(t) ∈ [0,1]，財富的累積對數報酬為
L = ∫₀ᵀ [ rf + α(t)(μ − rf) − ½α(t)²σ² ] dt + ∫₀ᵀ α(t)σ dWt
因此 E[L] = rfT + (μ − rf)∫α dt − ½σ²∫α² dt， Var[L] = σ²∫α² dt
現在比較兩個時間平均曝險相同（∫α dt = ᾱT）的策略：
・平滑策略 S：α(t) ≡ ᾱ ⟹ ∫α² dt = ᾱ²T
・跳動策略 J：前 (1−ᾱ)T 年為 0，之後為 1 ⟹ ∫α² dt = ᾱT
由柯西–施瓦茲（或 Jensen，因 α ↦ α² 為凸函數）：∫α² dt ≥ (∫α dt)²/T，等號僅在 α 為常數時成立。故 ᾱT > ᾱ²T（只要 ᾱ < 1）。
⟹ E[LJ] < E[LS] 且 Var[LJ] > Var[LS]
兩個方向同時變差，所以對任何風險趨避程度（任何 γ > 0）的投資人，J 都被 S 嚴格支配。■
代入數值：ᾱ = 0.5、T = 10 年、σ = 18%。∫α²dt 從 2.5 變成 5.0，差 2.5。
期望對數報酬的損失 = ½σ² × 2.5 = 4.05%（累積）≈ 0.40%／年；同時變異數翻倍。
請注意這個證明的結構有多強：它沒有假設市場效率、沒有假設報酬不可預測、也沒有假設自己的估值判斷是錯的。它只用了「波動拖累正比於曝險的平方」這一件事——也就是第 2.2 節那條 σ²/2。把曝險集中在少數時段，∫α² 就必然變大，而它同時出現在期望值的減項與變異數裡。這是等待策略真正的、無法迴避的成本。
22.8 「等待就是持有一個選擇權」錯在哪
最後一個常見的辯護是：「我在等，等於我持有一個可以更便宜買進的選擇權，這是有價值的。」這個類比很吸引人，但它在三個地方是錯的。
附帶一個有趣的推論。真正忠實實作「我願意在跌 10% 時買進」這個意圖的工具，不是坐在現金裡，而是賣出以現金擔保的價外賣權（cash-secured put）：承諾在較低的價位買進，並且收取權利金。注意方向——付錢的是市場，因為它認為這個承諾對賣方以外的人有價值，不是對它自己有價值。這正好倒推出前面的結論：等待本身不是資產，它是免費送出去的東西。
22.9 所以，如果真的認為全球估值過高，該怎麼做
前面五節的結論不是「自己的擔憂是錯的」，而是「自己的擔憂是對的，但自己選的工具不對」。以下是把它換成正確工具的六個步驟。
一句話總結第 22 章
估值說明「該持有多少」，永遠不說明「該在哪一天買」。把資訊用在水準上，得到的是命題一的等比例縮減；把同樣的資訊用在時機上，得到的是命題二的雙重損失，加上 22.5 那個 75% 的機率永遠不進場。這兩條路的差別不是風格，是算術。