Yu Lab
全書目次

第三部　期望報酬能不能算出來

11　股利折現模型與高登方程式

一張股票的價值，理論上等於它未來所有現金流的折現值。假設股息以固定速率 g 永續成長、折現率為 r：

永續成長年金的名目現金流與其折現後的現值折線圖。橫軸為年度 1 到 60，縱軸為金額。上方那條是每年的名目股利（起始 100，年成長 2%），下方那條是同一筆現金流以 7% 折現後的現值。名目金額一路上升，現值卻在下降——六十年現值加總 1924，其中前二十年就佔了 65%。無限期加總的封閉解就是高登方程式 D₁/(r−g) = 2040。0501001502002503000102030405060前 20 年佔現值 65%名目股利（成長 2%）折現後現值（r = 7%）年度金額
圖 11-1股票的本質：一串不斷繼續付錢的現金流。名目金額一路上升，但折現後的現值在下降——正是這個下降讓無限期的加總收斂到一個有限的數字，也就是高登方程式 D₁/(r−g)。原書用一段排版文字表達「繼續付錢……」；這裡把它換成可以量的東西。資料來源：不需要資料。
方法與判斷

改為 Yu Lab 自製的現金流時間軸概念圖：逐年股利柱狀 + 折現後的現值柱狀，直接把 DDM 的加總視覺化，比原圖多做一件事。

P0 = Σt=1..∞ D0(1+g)t / (1+r)t

令 x = (1+g)/(1+r) < 1，這是首項 D0x、公比 x 的等比級數：

P0 = D0 · x/(1−x) = D0(1+g)/(r−g) = D1/(r−g)

解出 r：r = D1/P0 + g

這就是高登方程式（Gordon Equation）：期望報酬 = 股息殖利率 + 股息成長率。它極其簡潔，而且不需要預測任何人的行為，只需要兩個可觀測（或至少可合理估計）的量。

實際發生的報酬還多一項——估值倍數的變化。伯恩斯坦把它寫成：

已實現報酬的三項分解長條圖。已實現報酬 = 股息殖利率 + 股息成長率 + 價格股息比的年化變動率。圖中以一組示範數字呈現三項的相對量級：股息殖利率 3.2%、實質股息成長率 1.5%、估值變動（價格／股息比） 1.1%，合計 5.8%。前兩項是基本報酬，第三項是投機報酬。0%1%2%3%4%5%6%合計 5.8%股息殖利率實質股息成長率估值變動（價格／股息比）年化貢獻
圖 11-2已實現報酬 = 股息殖利率 + 股息成長率 + 價格股息比的年化變動率。原書把這一行公式排版成圖片；這裡改成把三項的相對量級畫出來。前兩項是基本報酬（可預測性較高），第三項是投機報酬（幾乎不可預測）——這就是 §12.3 要拆的那三項。資料來源：不需要資料。
方法與判斷

書中把公式排成圖片。改為本書原生的方程式標記，與 §12.3 的三項分解共用同一段公式。

前兩項是基本報酬（fundamental / investment return），第三項是投機報酬（speculative return）。這個分解非常有力，因為兩者的時間性質完全相反：投機報酬短期主宰一切、長期趨近於零（估值不可能無限膨脹）；基本報酬短期看不出來、長期主宰一切。

估值變動與基本面在已實現報酬變異中的占比，隨持有期變化折線圖。橫軸為持有期 1 到 50 年（對數刻度），縱軸為在已實現年化報酬的變異中所占的比例。持有期愈短，估值變動（投機報酬）占的比重愈高；持有期拉長到二十年以上，股利與股利成長（基本報酬）成為主導。兩條線相加恆為 100%。0%20%40%60%80%100%125102050投機報酬（估值變動）基本報酬（股利與成長）持有期（年，對數刻度）在報酬變異中的占比
圖 11-3持有期愈長，估值變動在報酬中的份量愈小。原書用一張沒有刻度的示意圖表達這個關係；這裡改成實測——對每一種持有期，把已實現報酬拆成基本面（股利殖利率 + 實質股利成長）與估值變動兩項，看各自解釋了多少變異。結論方向相同，但現在它是可驗證的。資料來源：Shiller, Online Data（1871–）。分解方法見 src/lib/finance/shiller.ts 的 decomposeReturn。
方法與判斷

大幅改良：把原本無刻度的示意圖換成實測的變異數分解——各持有期下，總報酬變異中有多少來自估值變動、多少來自股利與成長。示意圖變成可驗證的實證圖。

這張圖是全書的策略核心。它說明：如果自己的持有期是幾十年，完全不需要預測市場情緒，只需要估對殖利率與成長率。而如果自己的持有期是幾天，那做的事情跟估值毫無關係，純粹是在猜別人會怎麼想。

對應 §11計算核心 src/lib/finance/portfolio.ts

11.1　它預測得準嗎

高登方程式的事前預測與其後十五年實際報酬（1935 年起）兩條折線。灰線是高登方程式的事前預測（當期股利殖利率加上過去三十年的實質股利成長率），深線是其後十五年實際實現的年化實質總報酬。預測值平滑而保守，實際值劇烈震盪，但兩者的中長期水準大致吻合：平均絕對誤差 3.9 個百分點。−5%0%5%10%15%20%19401960198020002020其後十五年實際高登方程式預測年年化實質報酬
圖 11-4高登方程式的事前預測（當期股利殖利率 + 過去三十年實質股利成長）與其後十五年的實際年化實質報酬。預測平滑而保守，實際值劇烈震盪，但中長期水準大致吻合。預測用的全是事前資訊，沒有前視偏誤。資料來源：Shiller, Online Data。
方法與判斷

改良：加上預測誤差的分布與 R²，把「大致吻合」量化。

高登方程式的事前預測與其後十五年實際報酬（1955 年起）兩條折線。灰線是高登方程式的事前預測（當期股利殖利率加上過去三十年的實質股利成長率），深線是其後十五年實際實現的年化實質總報酬。預測值平滑而保守，實際值劇烈震盪，但兩者的中長期水準大致吻合：平均絕對誤差 3.5 個百分點。−5%0%5%10%15%20%1960197019801990200020102020其後十五年實際高登方程式預測年年化實質報酬
圖 11-5同一比較的另一段起點（1955 年起）。換起點不改變結論——這是原書那張圖想說的，這裡用同樣的方法重做一次。資料來源：Shiller, Online Data。
方法與判斷

與 f11-04 實作為同一函式的 startYear 參數；並補上「任意起點」的敏感度說明。

結論：高登方程式不是一個「時機工具」，它是一個「合理性檢查」。當它說明未來實質報酬大約 3%，而自己的退休試算表假設 8%，就知道試算表要改的是假設，不是希望。

著作（出版年）股票期望實質債券期望實質60/40 期望實質事後實現算到差距
《智慧型資產配置》（2000）2.7%3.8%3.2%4.4%20251.2%
《投資金律》（一版）（2002）3.4%3.0%3.2%5.1%20251.9%
《投資人宣言》（2010）3.6%1.8%2.9%6.8%20253.9%
《投資金律》（二版）（2023）3.7%1.5%2.8%11.1%20258.3%

前三欄是各書出版當時公開陳述的估計值，屬對出版品內容的事實引用。

「事後實現」欄由 Yu Lab 以 Shiller 的實質股票與債券總報酬自行計算：自出版年起、60/40、每年再平衡，算到資料末端。原書算到 2022 年，這裡算到最新年度。

重點不是誰比較準，而是符號：這些事前估計一路偏保守，但量級正確。一個「預測不準但量級對」的模型，仍然比「用過去的平均值外推」有用得多（§11.1）。

表 11-1出版當時的期望報酬估計，與 60/40 組合事後的實質年化報酬。前三欄是對出版品內容的事實引用；「事後實現」欄由本站以 Shiller 資料自行計算，而且算到最新年度。重點不是誰準，而是這些事前估計一路偏保守但量級正確。資料來源：估計值：各書公開陳述。實現報酬：Shiller, Online Data，60/40 年度再平衡。
方法與判斷

這是「關於某本書說了什麼」的事實陳述，不是重製其表達。改為原生 HTML 表、逐列附出處，並把實現報酬欄換成自算值（原表算到 2022，本表算到最新年度）。