第三部 期望報酬能不能算出來
12 評價指標與長期報酬
高登方程式的另一種表現形式，是把估值倍數當作起點。席勒的週期性調整本益比（CAPE）用過去十年的實質盈餘平均當分母，藉此濾掉景氣循環：
CAPE = P實質 / (過去十年實質 EPS 平均)
方法與判斷
這正是 Shiller 本人公開的資料，直接用原始出處重繪即可，並延伸到最新月份。
方法與判斷
改良：加上迴歸線、R²、以及依 CAPE 分組的實際報酬分位數帶——把「離散度很大」從形容詞變成數字。正文引用「10 個百分點以上」需以自算值核對。
正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。
怎麼讀這張圖，決定了是理性的投資人還是災難。正確的讀法：起始估值對長期報酬有明顯的解釋力，所以高估值時應該下修自己的報酬假設（多存一點錢、晚一點退休）。錯誤的讀法：CAPE 高於某個門檻就清倉。後者在 1996–2000 年會讓人錯過四年的大多頭，在 2013–2021 年會讓人錯過八年。
12.1 其他估值指標，以及一個很流行的錯誤
| 指標 | 優點與陷阱 |
|---|---|
| CAPE | 濾掉景氣循環；但會受會計準則變動、產業結構（輕資產化）影響而向上漂移。直接拿 1950 年的平均值當錨是錯的。 |
| 市值／GDP（巴菲特指標） | 直覺清楚；但分子含海外獲利、分母不含，全球化時代會系統性上升。對台灣這種高度外銷的經濟體尤其不適用。 |
| Tobin’s q | 有經濟學基礎（市值／重置成本）；但無形資產（品牌、軟體、專利）的重置成本幾乎無法測量。 |
| 股息殖利率 | 直接對應高登方程第一項；但回購取代股息後，單看殖利率會系統性低估期望報酬（§11 反駁欄）。 |
| 聯準會模型 （盈餘殖利率 vs 公債殖利率） | 這一個是錯的。它把名目公債殖利率拿來跟實質盈餘殖利率直接比，犯了「通膨幻覺」（Modigliani–Cohn）。高通膨時它會說股票很便宜（例如 1979 年），低通膨時說很貴。實證上它對十年報酬幾乎沒有預測力。 |
聯準會模型值得多講一句，因為它每次升息循環都會在媒體上重現（「公債 5%，股票盈餘殖利率才 3%，股市太貴了」）。問題在於：公司的盈餘會跟著通膨成長，公債的票息不會。拿一個會跟通膨成長的現金流，去跟一個不會的直接比殖利率，就像拿月薪跟存款餘額比大小。正確的對照組是抹通膨公債（TIPS）的實質殖利率。
12.2 相對估值：價值價差
同樣的邏輯可以用在因子上。價值價差（value spread）衡量成長股與價值股之間的估值差距。它在大蕭條與網路泡沫時衝到極端，而這兩次之後價值股都有極強的表現。
方法與判斷
原圖的價值價差定義未揭露。改以明確定義（成長組 BE/ME 中位數 ÷ 價值組 BE/ME 中位數的倒數比）重建，方法論在圖說中寫清楚。
| 指標 | 全期間平均 | 1932 年 | 2000 年 | 2020 年 | 2021 年 | 2025 年 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 價值價差（最高／最低 BE/ME 十分位） | 17.0 | 44.5 | 31.9 | 24.0 | 33.2 | 30.0 |
定義：最高 BE/ME 十分位的組合平均淨值市價比，除以最低十分位的組合平均值。數字愈大代表成長股相對愈貴。
原書那張表列了股價淨值比、本益比與股價現金流量比三個指標，但沒有揭露計算方式與樣本，因此無法驗證。這裡只列一個定義明確、可以自己重算的指標。
獨立重算的結果與原書的敘述不完全一致。原書說「2020 年的水準已超越 2000 年」；用這個定義，2020 年是 24.0，仍低於 2000 年的 31.9。真正超過 2000 年的是 2021 年的 33.2。方向性的結論（近年的價值價差回到網路泡沫等級）成立，但年份要更正。
另外一個原書沒有提到、但這個指標算出來很清楚的事實：真正的歷史極值不在 2000 年，而在 1930 年代。
方法與判斷
改為原生 HTML 表，並延伸到最新年度——「2020 已超越 2000」這個結論需以最新資料重新檢查。
正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。
12.3 把長期報酬拆成三項：估值到底進到哪一項
前兩節講的是「估值指標怎麼讀」。這一節要問一個更前面的問題：估值究竟以什麼方式進入期望報酬？把第 11 章的高登方程式重排一次，答案就清楚了。一段期間內的總報酬只能來自三個地方——收到的現金、公司賺的錢變多了、以及別人願意為同樣的盈餘多付（或少付）錢。
三項分解（building-block 形式）
價格恆等式：PH / P0 = (EH / E0) × (mH / m0)，其中 m 為估值倍數（此處用 CAPE）。
兩邊取年化，加上期間收到的現金：
名目報酬再加上預期通膨 π。三項的性質完全不同：收益率今天就能觀測；g 是實質經濟量，長期落在一個窄區間；估值項是唯一與「現在貴不貴」直接相關的一項，也是唯一需要對未來倍數做假設的一項。
這個分解一次解決了兩個常見的混淆。第一，「股票歷史年化 8–10%」不是一個可以套在任何起始估值上的常數：歷史報酬裡含有一段估值上升的貢獻，而那一段是一次性的，不會自動重複。第二，估值項以 1/H 稀釋——同樣一次倍數回歸，攤在十年是每年好幾個百分點，攤在三十年幾乎看不見。這解釋了為什麼估值對十年期的財務規劃影響很大，對三十年期的累積計畫影響有限。
現在可以回答一個經常被誤解的問題：既然期望報酬會隨估值變動，那「固定 60/40」是不是錯的？不是，但它的正當理由跟很多人想的不同。固定比例的功能是風險預算——它由自己的投資期限、可承受回檔、提領需求與財務目標決定（§19.1、§19.2），這些東西不會因為 CAPE 從 25 倍變成 40 倍而改變。固定比例並不宣稱「不論估值高低，股票的期望報酬都一樣」。
但反過來說，「估值完全不該影響配置」也不是理論的結論。回到第 8 章的最適曝險式子：
w* = (E[R] − rf) / (γσ²)
在其他條件不變下，若股票的預期超額報酬下降，這條式子給出的最適比重就會下降。所以理論上的最適配置本來就不是固定的；它只在「期望報酬與波動皆為常數」的特例下才固定。真正需要討論的不是「估值該不該影響配置」，而是下面這個定量問題：
§12.4 處理可靠度，§12.5 處理「基準本身會動」，§12.6 把訊號換成正確的決策變數，§12.7 處理模型風險。實際的配置規則寫在 §19.6。
12.4 訊號能回答什麼、不能回答什麼
估值最大的問題不是「完全沒有預測力」，而是預測誤差非常大，而且誤差的形狀對擇時特別不利。把可以問的問題排成一張清單，界線會很清楚：
| 想問的問題 | 估值能回答嗎 | 為什麼 |
|---|---|---|
| 未來十年的平均年化報酬大概落在哪個區間？ | 部分可以 | 起始估值對十年報酬有明顯的解釋力，但單點預測的誤差帶寬達十個百分點以上（圖 12-2） |
| 我該把長期規劃的報酬假設訂多少？ | 可以 | 規劃需要的是分布，不是點；把分布整體下移一點是有依據的（§20.2、§20.7） |
| 明年會不會跌？ | 不行 | 一年期的解釋力接近零；估值高的年份裡上漲仍是多數 |
| 現在是不是高點？何時進入熊市？ | 不行 | 估值是水位，不是時鐘。1996 年就已高於 1929 年的水準，高點在四年後 |
| 下跌前還會不會再漲很多？ | 不行 | 見下面的算術：「先大漲、再多年低報酬」與「十年報酬偏低」完全相容 |
一個必須算過一次的算術
假設某模型說「未來十年年化 4%」。十年累積倍數 = 1.0410 ≈ 1.48。
若前三年年化 +15%（累積 1.153 ≈ 1.52），剩下七年只需要年化 −0.4%，整段就正好落在 4%。
也就是說：「現在估值很高」與「未來十年報酬偏低」可以同時成立，而中間完全不需要出現崩盤——只需要一段大漲，然後很多年不動。
這正是大幅擇時困難的核心。把股票從 70% 降到 20%，需要兩個判斷都對：何時減、以及何時加回來。第二個判斷通常更難，因為加回來的時點往往在市場氣氛最差、或在已經錯過一段漲幅、心理上最難按下按鈕的時候。把兩個獨立判斷串起來，正確率是相乘的。
還有一個容易被忽略的區分：訊號誤差（模型估錯了期望報酬）與實現誤差（期望報酬估對了，但十年只有一條路徑）。前者可以靠更好的模型與多模型平均改善（§12.7）；後者不能，因為它是 σ/√H 這一項，而 H 是自己的人生長度，不能加大樣本。這也是第 13.3 節那個「四十三年」結論的同一個數學。
12.5 基準本身是變數：公允估值的概念
「現在 CAPE ÷ 歷史平均 CAPE」是最流行的高估幅度算法，而它隱含一個很強的假設：合理倍數是一個常數。用高登方程式檢查這個假設，會發現它站不住腳。把倍數寫成折現率與成長率的函數：
m* = 1 / (r實質 − g實質)
取 g = 2%：r = 7.5% ⟹ m* ≈ 18×；r = 6.5% ⟹ m* ≈ 22×；r = 5.5% ⟹ m* ≈ 29×。
實質折現率每差一個百分點，合理倍數就差四到七個倍數；兩個百分點的區間已經跨越 18× 到 29×。而 r = 實質無風險利率 + 股票風險溢酬——兩項都會隨時代改變。
會讓合理倍數移動的因素至少有六類：實質利率水準、通膨與通膨的不確定性、企業融資成本、稅制、可持續的實質盈餘成長率，以及投資人要求的風險溢酬。此外還有兩個純技術性的漂移來源：無形資產（研發、軟體、品牌）在會計上被當成費用而非資本支出，會系統性壓低帳面盈餘、推高倍數；以及回購取代股息，使殖利率型指標系統性低估股東報酬（§11 反駁欄）。
因此比「原始 CAPE ÷ 歷史平均」更完整的做法，是先估一個公允估值倍數（fair-value multiple），再看目前的偏離程度：
相對估值 = 目前 CAPE / 公允 CAPE（以當期實質利率、通膨等條件推估）
Vanguard 的 fair-value CAPE 就是這個概念的實作：用實質利率、通膨等宏觀變數迴歸出「在目前條件下合理的倍數」，再以偏離幅度而非絕對水準來下結論。這個做法比拿百年平均當錨誠實，但它也帶進一個新的風險：公允估值模型可能把任何高估都解釋成合理的。如果模型的解釋變數裡有一項正好在極端值（例如極低的實質利率），它會說明「現在的高倍數是合理的」，而這正是最需要懷疑的時候。兩個方向的錯誤都要標明：拿常數當基準會系統性高估風險，拿彈性模型當基準會系統性低估風險。
12.6 決策變數不是估值，是股票風險溢酬
前面幾節都在談股票自己貴不貴。但配置決策從來不是「股票貴不貴」，而是「相對於我可以改持有的那個東西，股票值不值得」。回到第 8 章：權重只透過 (μ − rf)/σ² 進入解。絕對估值只有透過這一項才會影響配置。所以正確的決策變數是股票風險溢酬：
ERP = E[R股票] − E[R安全資產]
兩個情境足以說明為什麼絕對估值會誤導：
| E[R股票] | E[R安全] | ERP | 配置含意 | |
|---|---|---|---|---|
| 情境 A | 5% | 1% | 4% | 股票的絕對報酬不高，但相對安全資產仍有充分補償 ⟹ 維持甚至提高股票比重 |
| 情境 B | 6% | 5% | 1% | 股票的絕對報酬更高，但承擔全部股票風險只多換到一個百分點 ⟹ 有理由降低股票比重 |
情境 B 的股票報酬比情境 A 高，但配置結論相反。這就是為什麼「P/E 很高所以減碼」是一個不完整的推論——它漏掉了另一邊。安全資產的期望報酬在 2020 年與 2026 年差了三、四個百分點，這件事對配置的影響，與股票估值變動的影響同一個量級。
計算 ERP 時有三個技術要求，違反任何一個，數字就沒有意義：
- 同幣別。用台幣安全資產去減美元股票報酬，等於在 ERP 裡偷偷塞進一個匯率預測 E[Δs]（§19.9）。要嘛都換算成台幣（含避險成本），要嘛都用美元。
- 同期間。十年期的股票期望報酬要對十年期公債，不是對隔夜利率。安全資產的殖利率曲線是斜的，選錯期限可以憑空造出一兩個百分點。
- 同實質／名目基礎。用實質盈餘殖利率減名目公債殖利率，就是 §12.1 那個聯準會模型的錯誤（通膨幻覺）。要比名目就都名目，要比實質就用 TIPS 的實質殖利率。
配置該怎麼隨 ERP 移動，是第 19.6 節的內容——那裡有一個可以動手調的政策帶模型。這裡先記住一句話：ERP 是訊號，估值只是計算 ERP 的原料之一。
12.7 不要用一個模型取代一群模型
如果接受前面四節，下一個陷阱就在眼前：把主觀判斷換成「相信某一個模型」。這只是把行為風險換成模型風險，而且換得不划算——因為模型風險不會讓人緊張，所以不會對它設防。
比較穩健的做法是同時看幾個方法論彼此獨立的框架，並且要求它們方向一致才允許動作：
| 框架 | 它的核心假設 | 它最可能錯在哪 |
|---|---|---|
| 宏觀迴歸型 公允估值 CAPE、VCMM | 合理倍數是實質利率、通膨等變數的函數 | 解釋變數落在歷史極端值時，容易把高估合理化 |
| 基本面建構型 收益率＋成長＋回歸 | 倍數在 H 年內回到某個目標值（§12.3） | 目標倍數與回歸速度都是外生假設，答案對它們極度敏感 |
| 透明基準 CAPE、CAEY = 1/CAPE | 幾乎沒有假設，也幾乎沒有調整空間 | 忽略利率與結構漂移，在高利率或高通膨期會誤判 |
這件事在數學上不是「湊個平均」而已。多模型平均等於對模型不確定性做收縮，與第 17 章對估計誤差做收縮是同一個貝氏動作：當每個模型都有偏誤而偏誤方向不同時，平均值的誤差變異數低於任何單一模型。實務上的操作規則可以很簡單：只有兩個以上方法論獨立的框架同向、且幅度相近時，才允許配置跨入下一個級距（§19.6）。單一模型的極端讀數只允許更新報酬假設，不允許動配置。
CAPE 在這個結構裡有一個它最適合的角色：透明的合理性檢查。它的公式所有人都能算、沒有調整空間，所以當它與另外兩類模型嚴重矛盾時，至少知道要去問「誰的假設比較奇怪」。這比把它當成擇時開關有用得多。
12.8 債券的期望報酬：YTM、久期與凸性
前面七節都在處理股票的期望報酬，而債券在這件事上有一個股票沒有的優勢：如果不違約，它的期望報酬幾乎是寫在合約上的。這一節把那句話證明清楚，也把它的三個逃生口指出來。它同時是第 27 章（長債為什麼這麼慘）的數學前置。
定價恆等式與到期殖利率
一張面額 F、票面利率 c、剩餘 n 年、每年付息一次的債券，在折現率 y 下的價格是
P(y) = Σt=1..n cF/(1+y)t + F/(1+y)n
到期殖利率（YTM）就是讓這條式子等於市價的那個 y。它不是「報酬率的預測」，它是這串現金流的內部報酬率（IRR）。
命題 1（YTM 到底保證了什麼）。若持有到期、且每筆票息都以 y 再投資，則年化報酬恰為 y。
證明。期末財富為
Wn = Σt=1..n cF(1+y)n−t + F = (1+y)n · [ Σt cF/(1+y)t + F/(1+y)n ] = (1+y)n P(y)
故 (Wn/P)1/n − 1 = y。∎
請注意證明用到的兩個條件：持有到期與票息以 y 再投資。兩者任一不成立，y 就不再是實現報酬——這正是「債券也有風險」的全部內容。
久期：斜率
定義每期現金流的現值權重 wt = PVt/P（Σwt = 1），則 Macaulay 久期 D ≡ Σ t·wt，即現金流到達時間的現值加權平均。
命題 2。dP/dy = − P · D/(1+y)，因此定義修正久期 D* ≡ D/(1+y) 時，(dP/dy)/P = −D*。
證明。逐項微分：d/dy [ CFt(1+y)−t ] = −t·CFt(1+y)−t−1 = −(t/(1+y))·PVt。加總得
dP/dy = −(1/(1+y)) Σt t·PVt = −(P/(1+y)) Σt t·wt = −P·D/(1+y)。∎
久期因此有兩個完全等價的讀法：時間（現金流的平均等待年數）與敏感度（殖利率變動 1 個百分點，價格大約變動 D* 個百分點）。這兩個讀法會在下面的免疫定理裡碰頭。
凸性：曲率
定義 C ≡ (1/P)·d²P/dy² = Σt t(t+1)wt / (1+y)²，則二階泰勒展開為
ΔP/P ≈ −D*·Δy + ½·C·(Δy)²
因為 C > 0（所有項都是正的），二階項永遠是正的：殖利率下跌時價格多漲一點、上升時少跌一點。這就是「凸性是持有人的朋友」的意思，也是為什麼單看久期會系統性高估大幅升息的損失。
免疫定理：久期的兩個讀法在這裡合流
命題 3。設殖利率在買進後立刻由 y 平行移動並維持不變，投資人持有 H 年（票息以當時殖利率再投資），則期末財富可寫為 W(H, y) = P(y)·(1+y)H，且
∂W/∂y = (1+y)H−1 · P(y) · (H − D)
證明。∂W/∂y = P′(y)(1+y)H + H·P(y)(1+y)H−1，代入命題 2 的 P′(y) = −P·D/(1+y) 得 (1+y)H−1P(H − D)。∎
推論（免疫）。當 H = D 時一階效應為零：殖利率上升造成的價格損失，恰好被較高的再投資報酬抵消。H < D 時價格風險主導（升息受害）；H > D 時再投資風險主導（升息其實是好事）。
這條式子解決了一個常見的無效爭論。「殖利率上升對債券投資人是好事還是壞事」沒有普遍答案，答案是 sign(H − D)。2022 年之後抱怨長債的人，多數是把 H ≈ 5–10 年的錢放進 D ≈ 17 年的工具（§27.3）；而同一次升息對一個為二十年後退休負債配置的人，是純粹的好消息。
YTM 作為期望報酬的三個扣項
把三項合起來，債券的期望報酬有一個與 §12.3 股票三項分解完全對稱的形式：
E[R債] ≈ YTM + 騎乘效應 − 預期信用損失 − 費用
對照 §12.3 的股票版：E[R股] ≈ 股息率 + 實質成長 + 估值變動 + 通膨。債券的第一項可觀察，股票的第三項不可觀察——這就是為什麼固定收益的期望報酬估計比股票可靠得多，也是為什麼把「歷史平均債券報酬」當成前瞻估計特別離譜（現在的 YTM 才是估計值）。
實務上要看的欄位就一個：存續期間。附錄 E 的表 E-13 到 E-15 每一張都有這一欄，它決定了那支基金在利率變動下會發生什麼事，而它與自己的 H 的關係決定了那件事對是好是壞。