第二部 組合的數學
8 無風險資產、資本市場線與兩基金分離
現在加入一個報酬確定為 rf、變異數為零的資產。把比例 α 放在某個風險組合 P、(1−α) 放在無風險資產：
μ = rf + α(μP − rf) σ = ασP ⟹ μ = rf + [(μP − rf)/σP] · σ
這是一條直線，斜率就是夏普比率 SP = (μP − rf)/σP。既然可以自由選 P，理性投資人會選讓斜率最大的那一點——也就是從 (0, rf) 出發、與效率前緣相切的那個組合，稱為切點組合（tangency portfolio）。這條直線就是資本市場線（CML）。
切點組合的權重可以直接解出。最大化 S(w) = (wTμ − rf)/√(wTΣw)，令梯度為零可得：
wtan = Σ−1(μ − rf1) / [1TΣ−1(μ − rf1)]
這個結果帶來托賓兩基金分離定理：所有投資人，不管風險偏好多不同，都應該持有同一個風險資產組合（切點組合），差別只在於他把多少錢放在無風險資產上。風險偏好只影響 α，不影響風險資產內部的比例。
8.1 風險趨避到底是什麼：把 α 解出來
兩基金分離定理說「風險偏好只影響 α」，但 α 到底該是多少？這需要一個效用函數。標準的做法是假設常數相對風險趨避（CRRA）：
U(W) = W1−γ/(1−γ) （γ 為風險趨避係數）
最大化期望效用，以二階展開後對 α 微分令零：
以 μ−rf = 5%、σ = 20% 代入：γ = 1 → α* = 125%（需槓桿）；γ = 2 → 63%；γ = 4 → 31%；γ = 8 → 16%。
請把這條式子與第 25.2 節的凱利公式 k* = (μ−rf)/σ² 放在一起看：它們是同一條式子，只差一個 γ。凱利就是 γ = 1（對數效用）的特例——這也是為什麼凱利解對大多數人來說大得離譜：實證上一般人的 γ 落在 2 到 5 之間，所以合理的股票曝險本來就在 30–60% 這個區間。「半凱利」這個實務法則其實就是 γ = 2。
這個推導也把第 19 章的實務建議接上了理論：伯恩斯坦的「可忍受虧損 × 2 + 10%」看起來是一條拍腦袋的規則，但它實際上就是在問自己的 γ——只不過用「能看著帳戶跌多少而不賣」這個人類看得懂的問法，代替了「自己的相對風險趨避係數是多少」這種沒人答得出來的問題。
8.2 一個實務上的漂亮案例：該用公司債還是國庫債？
公司債的報酬比國庫債高，波動也高一點。看起來像是「多承擔一點風險換多一點報酬」的合理交易。但把它們各自與股票混合，畫出兩條前緣，會發現一件事：
方法與判斷
與 f08-01b 是同一張圖的兩種縮放，實作為同一個函式的兩個 zoom 參數。
方法與判斷
正文引用了 −1.42% 與 −8.04%。改用公開指數重算後數字會變，必須同步改寫正文。
正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。
| 標的 | 1976–2026 年化 | 2008 年 9–10 月 | 目前對 10 年期利差 |
|---|---|---|---|
| 10 年期公債（存續期間約 8） | 6.23% | 1.26% | — |
| 穆迪 Aaa 級公司債（存續期間約 8） | 7.54% | −4.20% | 1.16% |
| 穆迪 Baa 級公司債（存續期間約 8） | 8.90% | −12.55% | 1.59% |
| 5 年期公債（存續期間約 4.5） | 5.77% | 2.36% | −0.27% |
總報酬由殖利率與存續期間一階近似重建：r ≈ y₀/12 − D·Δy。忽略凸性與滾動下滑，因此長期年化會略低於實際指數。
FRED 上的 ICE BofA 債券總報酬指數目前只提供最近三年，無法用來做五十年的比較；改用這個可檢驗的近似法，並把公式寫出來。
重點不在小數點，而在最後兩欄的方向差異：長期而言公司債報酬較高，但在股票最痛的那兩個月裡它跟著跌，公債反而上漲。
方法與判斷
原表用彭博社指數（授權不允許再製）。改用 FRED 公開序列，並改為原生 HTML 表。
正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。
這個例子的教訓很深：標準差沒有捕捉到公司債的真正風險。公司債的風險是「與股票在同一個時刻一起變壞」，也就是共變異數，而且是條件式的共變異數（平時低、危機時高）。用平均標準差比較兩者，會系統性地低估公司債。這是「用錯風險指標會導致錯誤決策」的教科書案例。