15　再平衡的數學

15.1　為什麼再平衡會產生報酬

用一個最小的例子。某資產每期以 50% 機率上漲 30%、50% 機率下跌 10%。單獨持有它的算術期望報酬是 +10%，幾何期望報酬是 √(1.3×0.9) − 1 ≈ 8.17%。現在同時持有兩個獨立的這種資產，各 50%，每期結束後再平衡回 50/50：

結果	資產 A	資產 B	機率	不再平衡	每期再平衡
正面 · 正面	30%	30%	25%	30.0%	30.0%
正面 · 反面	30%	−10%	25%	10.0%	8.2%
反面 · 正面	−10%	30%	25%	10.0%	8.2%
反面 · 反面	−10%	−10%	25%	−10.0%	−10.0%
期望值	—	—	100%	10.00%	9.08%

兩個資產各有 50% 機率 +30%、50% 機率 −10%，彼此獨立。起始配置 50/50。

差額就是再平衡溢酬。它來自「把漲多的賣掉、把跌多的補回來」這個動作本身，而不是來自任何預測。

注意最後一列：期望值的差距很小。再平衡溢酬是真的，但它的量級是每年零點幾個百分點——不是一個可以拿來當主要理由的數字（§15.2）。

憑空多出 0.9 個百分點的複利報酬，而期望報酬完全沒變。這就是再平衡溢酬。用第 2 章的公式可以看出它從哪來：單一資產 σ = 20%，波動拖累 σ²/2 = 2.0%；組合 σ = 20%/√2 ≈ 14.1%，波動拖累只有 1.0%。差額 1.0% 大致就是溢酬。

讀這條式子：溢酬正比於波動的平方、正比於(1−ρ)。所以再平衡溢酬在「高波動、低相關」的資產之間最大，在「低波動、高相關」的資產之間幾乎為零。這解釋了為什麼在股票內部的次類別（大型 vs. 小型）之間再平衡的效益，遠低於在股票與債券之間。

請特別注意上面模型的一件事：把隨機序列換幾個，會看到再平衡在某些路徑上一路落後。公式算出來的 Δg 是期望值，不是保證。這也是為什麼我們強調：再平衡的第一功能是維持風險水準，報酬只是附帶的紅利。如果把它當成一個賺錢策略，遇到連續五年落後時會放棄它——而那通常正好是它最該發揮作用的前夕。

15.2　但它不是無條件的

上面的推導假設報酬是均值回歸或至少獨立的。如果報酬有正的序列相關（趨勢），再平衡會讓人不斷賣掉贏家，結果變成負貢獻。實務上：

• 股債之間再平衡：長期為正貢獻，因為兩者估值大致獨立。
• 成長股 vs. 價值股：在長趨勢期間（1995–2000、2015–2021）會持續失血。
• 對單一國家或單一產業再平衡：可能買進一個正在永久衰亡的東西。這是再平衡最危險的用法。

15.3　多久做一次

三種常見規則：定期（每年一次）、門檻（偏離目標 5 個百分點就調）、混合（每年檢查一次，超過門檻才動）。實證上三者差距很小（年化 0.1–0.3 個百分點），遠小於稅與交易成本的影響。所以真正的準則是：

三個角度：再平衡頻率

理論上　§15.1 的 Δg 公式要求報酬獨立或均值回歸；頻率越高，捕捉的回歸越多，但交易成本與逆勢操作的風險也越高。公式本身不會給出一個最佳頻率。

歷史上　這正是回測最適合的題目，而它的答案是一個非結論：Vanguard 以 1926–2009 的美國股債資料發現，選擇再平衡策略時並不存在最佳頻率或門檻；每月、每季、每年再平衡的風險調整後報酬沒有實質差異，但再平衡次數與隨之而來的成本大幅上升。規模感可以這樣看：月月零門檻的極端做法在約九十年間再平衡了一千一百多次，年化報酬 8.20%；另一端的每年檢查、偏離 10 個百分點才調，結果相當。

未來最大的未知　股債相關的符號（§27.2）、長期趨勢是否取代均值回歸、以及自己的稅負結構。因為沒有最佳項，選一個真的做得到的規則，比選一個歷史上最好的重要得多。

來源：Jaconetti, Kinniry & Zilbering（Vanguard）再平衡研究，1926–2009 美國股債資料；後續版本延伸至 2014 年。