第二部 組合的數學
5 兩資產組合的期望值與變異數
設兩個資產 A、B，權重 w 與 1−w，期望報酬 μA、μB，標準差 σA、σB，相關係數 ρ。組合報酬 Rp = wRA + (1−w)RB。
期望值是線性的，直接由期望值算子的線性性得到：
μp = wμA + (1−w)μB
變異數則不是線性的，這正是整個理論的關鍵。展開定義：
σp² = E[(wRA + (1−w)RB − wμA − (1−w)μB)²]
= E[(w(RA−μA) + (1−w)(RB−μB))²]
= w²E[(RA−μA)²] + (1−w)²E[(RB−μB)²] + 2w(1−w)E[(RA−μA)(RB−μB)]
σp² = w²σA² + (1−w)²σB² + 2w(1−w)ρσAσB第三項是全部魔法的來源。當 ρ < 1 時，這一項小於「把兩個標準差直接加權平均」所應得的值，於是組合的標準差低於個別標準差的加權平均，而期望報酬卻剛好等於加權平均。憑空得到了風險的減少。這就是馬可維茲說的「分散化是投資裡唯一的免費午餐」。
5.1 三個極端情形
| ρ | σp | 意義 |
|---|---|---|
| +1 | wσA + (1−w)σB | 完全沒有分散效果，前緣是一條直線 |
| 0 | √(w²σA² + (1−w)²σB²) | 前緣向左彎，出現最小變異點 |
| −1 | |wσA − (1−w)σB| | 存在權重使風險為零（理論極限） |
5.2 最小變異權重的推導
對 σp² 關於 w 微分並令其為零：
dσp²/dw = 2wσA² − 2(1−w)σB² + 2(1−2w)ρσAσB = 0
w* = (σB² − ρσAσB) / (σA² + σB² − 2ρσAσB)二階導數 2(σA² + σB² − 2ρσAσB) 恆為正（只要 ρ < 1），所以這是極小值。注意 w* 完全不依賴期望報酬——這一點在第 16 章談穩健方法時會變得非常重要：最小變異組合只需要估計共變異數，不需要估計期望報酬，而後者恰好是最難估的東西。
5.3 看得見的效率前緣
把美國全市場股票與中期國庫債券以不同比例混合，畫出（標準差, 年化報酬）的軌跡，就是下面這條曲線。它向左凸出——這個凸出的部分就是分散化的價值。
方法與判斷
與 §5.2 的最小變異權重推導共用同一組參數，公式與圖不會各說各話。
曲線最左端不是 100% 債券，而是大約 90/10 的債券／股票組合。加入一點股票竟然讓整體風險下降，這是 ρ < 1 的直接後果，也是很多人第一次看到時不敢相信的結果。
下面這個模型把第 5 章的兩條公式與第 8 章的切點組合一起畫出來。它是全書最值得花時間玩的一個——二、四、六三部的一大半結論都可以在上面看到：