第四部 分散、再平衡與最佳化
16 均異最佳化為什麼會失敗
第 7 章給了漂亮的封閉解 w* = Σ−1(λμ + γ1)。把歷史資料代進去，會得到一組看起來很專業的權重。然後它們會在樣本外表現得很糟。原因有三層。
16.1 誤差最大化機器
最佳化程序的工作是「找出風險報酬比最好的資產並重壓」。但它看到的不是真實的 μ，而是 μ̂ = μ + 誤差。於是那些因為運氣好而估計值偏高的資產，正好會被最佳化器選中重壓。Michaud 因此稱之為「誤差最大化器」（error maximizer）。
量化一下敏感度。期望報酬的標準誤為 SE(μ̂) = σ/√T。以 σ = 20%、T = 30 年計算，SE ≈ 3.65%。也就是說，用三十年資料估出來的股票期望報酬，95% 信賴區間大約有 ±7 個百分點寬。而權重解裡的 Σ−1 會進一步放大這個誤差：當資產之間高度相關時，Σ 接近奇異，其反矩陣的元素會爆炸。
兩資產的直覺演示
設兩資產 σ 都是 20%、ρ = 0.9。最小變異權重 w* = (σB² − ρσAσB)/(σA² + σB² − 2ρσAσB)。
分母 = 0.04 + 0.04 − 2(0.9)(0.04) = 0.008，非常小。
若 σB 的估計值只變動 1 個百分點（20% → 21%），分子與分母都會大幅變動，w* 可以從 0.5 跳到 0.9 以上，甚至變成負值（放空）。
這就是為什麼未加限制的均異最佳化幾乎總是吐出「這個資產 180%、那個資產 −80%」這種答案。它不是模型壞掉，它是模型忠實地反映了輸入資料裡的雜訊。
16.2 誤差的相對嚴重性
Chopra 與 Ziemba (1993) 的經典結果：對投資人效用損失的貢獻，期望報酬的估計誤差約為變異數誤差的 11 倍、共變異數誤差的 21 倍（在中等風險趨避下）。實務結論非常明確：
16.3 前緣是平的
最後一個安慰：回頭看圖 5-1 與圖 7-1，效率前緣在中段非常平坦。這代表在 40/60 到 70/30 之間，不同配置的風險報酬差異其實很小。不需要找到「最佳」配置，只需要避開明顯很爛的配置（例如 100% 單一國家、100% 現金、或高費用的複雜產品）。這個觀察比任何最佳化演算法都有價值。